在量子場論裡，我們做路徑積分的時候也經常用到鞍點近似，這跟你處理圓法積分的思路在精神上是有相通之處的。
但有一個地方我琢磨了很久，你在構造最速下降路徑的時候，積分空間是有限維的。
而量子場論的路徑積分是在無窮維空間上做的，我想請教一下，當積分空間變成無窮維的時候，最速下降路徑還能定義嗎？
換句話說，你那個方法能不能推廣到泛函積分上呢？”
肖宿把記號筆從左手換到右手：“泛函鞍點的定義本身是成立的，問題在於沿最速下降方向的積分測度。
有限維情形下測度是勒貝格測度，沿最速下降方向的積分可控。
無窮維情形下測度不再是勒貝格測度，需要用到抽象維納空間的理論。
我在論文附錄裡沒有展開寫，但思路是通用的。”
他在白板上寫下了一行簡潔的公式，接著說：
“需要修改的地方只有一處，那就是把積分空間的希爾伯特結構換成巴拿赫結構，最速下降方向用Gateaux導數來定義。
只要巴拿赫空間滿足Radon-Nikody質，鞍點估計的精度不會退化。”
巴拿赫結構、Gateaux導數、Radon-Nikody質……
每一個都精準地踩在他之前推導時反覆卡殼的地方。
希爾伯特換成巴拿赫……
彭遠征當然知道路徑積分的無窮維空間不是希爾伯特空間，但知道歸知道，真到動手算的時候他還是會習慣性地把有限維的鞍點估計往裡套，然後被髮散項卡得死死的。
現在他忽然意識到，不是鞍點方法不對，而是他用的空間結構不對。
如果換到巴拿赫空間，測度的變換群變大了，Radon-Nikody質一成立，就可以構造一個和積分核自動匹配的等價測度了。
那個一直對不攏的因子，差的不是別的，就是一個合適的測度變換。
他重新抬起頭來，“肖教授，我還有一個問題。”
彭遠征的語氣比剛才更沉了一些，顯然是在腦子裡快速推了一遍才開口的。
“在巴拿赫空間裡做鞍點估計，測度的選擇就有了自由度，這是它的優點。
但自由度本身也帶來了新的問題，比如不同的等價測度給出的大偏差函式是不等價的。
在有限維情形下，大偏差原理是唯一的，但在無窮維巴拿赫空間裡，測度的不同選擇會導致不同的速率泛函。
這會不會影響鞍點估計的物理預言能力？
像這種情況要怎麼判斷選哪個測度才是對的呢？”
聽到這個問題，後排的鞠知行不禁坐直了身子。
這個問題問得極好，大偏差原理在無窮維空間裡的不唯一性，在數學物理領域也一直沒討論清楚。
如果測度的選擇會影響物理預言，那這個框架就不能用來做定量計算了。
