肖宿先看向了陳林。
“你的問題在於，明明已經走到了商空間的門口，又繞回去了。”
陳林一愣。
“你用朗蘭茲綱領的自守形式做全域性基展開，從第一步開始就在底流形上做全譜分解，這一步本身沒問題，展開是完整的，基函式的正交性也保持得很好，但是……”
肖宿翻到他筆記本中間折角的一頁，指著那個巨大的耦合矩陣結構圖，“你篩到第二層的時候，已經事實上構造出了商空間的等價類代表元，這一步之後，商空間上的能量泛函嚴格凸性其實已經可以直接用了，不需要你再往下篩第三層。”
陳林盯著自己畫的那個三層篩法結構圖，嘴唇動了動，沒說出話來。
肖宿的筆尖在第二層和第三層之間畫了一道橫線：
“第三層的所有計算，都是冗餘的，你把商掉和樂群之後剩下的那個嚴格凸泛函重新按區域性座標展開了一次，等於把已經商掉的自由度又撿回來了。”
“篩到第二層，直接套曲率正則化定理，極小值點存在且唯一，誤差估計直接從正則化子的譜半徑出，根本用不著第三層。”
陳林按照肖宿說的，在腦子裡飛快地過了一遍從第二層直接跳到曲率正則化定理的推導路徑。
他在做第三層的時候確實有過一種隱約的感覺，覺得有些步驟好像在重複前面的工作，但是當時他只以為是自己的推導不夠熟練，沒想到自己真的繞遠了。
肖宿又轉向陸奇。
“你用Berry相因子捕捉引數空間的幾何相位跳變，這個切入點是好的，跳變的位置也找得對，但是你把跳變之後的那段推導掛在路徑積分的鞍點近似上，這個處理太軟了。”
“鞍點近似是微擾方法，它依賴展開引數足夠小，你這個系統在共振點附近，非線性項和色散項的比值不是小量，鞍點近似的誤差在這個區域會失控。”
肖宿翻到陸奇筆記本上畫著Berry相因子跳變曲線的那一頁，指著那個點跟他說：
“你拿到的臨界引數是對的，只是因為你恰巧避開了近似失效的那幾個引數區間，但是，如果換一組邊界條件，Berry相因子的跳變位置就全變了，你的鞍點展開就可能正好踩在失效區上了。”
陸奇抿了抿嘴：“這一步我自己也不太滿意，我知道鞍點近似不夠硬，當時我也嘗試過其他的方法，可是沒有找到更合適的工具。”
肖宿點點頭，拿起筆，在陸奇那條Berry相因子跳變曲線的旁邊補了幾行推導，說道：
“這個工具不難找。
Berry相因子在引數空間裡的跳變，本質上對應的是商空間上聯絡的和樂非平凡性，它不是孤立的相位突變，而是商空間底流形上曲率張量的一個整體拓撲效應。
你把跳變這一步直接從Berry相因子拉到曲率正則化定理上，用和樂群的非平凡表示直接約束極小值點的位置，就不需要路徑積分的鞍點近似了。”
他把筆擱下，將那頁紙推回給陸奇。
陸奇低頭看著那幾行推導，眼睛裡的光一層一層地亮起來。
他之前思考了一週，想要找一個能解決這個問題的辦法，沒想到答案是這樣的，一瞬間，就好像撥雲見日了一樣。
他在腦中按照肖宿的方法推導了一下，發現這個方法簡單直接，而且和自己的證明過程嚴絲合縫的，實在是太合適了。
“我明白了，老師，不用在鞍點近似裡硬修展開引數，直接用和樂群的非平凡性鎖死。”
“嗯。”
肖宿心裡對兩人還是比較滿意的，他們雖然不是很聰明，好在還是比較認真的，也不需要他說第二遍。
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